CALCULUS Early Transcendentals an Open Text | Adapted for YORK UNIVERSITY | MATH 1520 INTRODUCTION TO CALCULUS 2017–07–10 EDITION

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Contents Contents iii Introduction 1 1 Review 3 1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Sets and Number Systems . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Law of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 The Quadratic Formula and Completing the Square . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Inequalities, Intervals and Solving Basic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 The Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.6 Solving Inequalities that Contain Absolute Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Distance between Two Points and Midpoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3 Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.1 Angles and Sectors of Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.2 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.3 Computing Exact Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.4 Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.3.5 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Functions 45 2.1 What is a Function? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Transformations and Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.2 Combining Two Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 iii iv Contents 2.7 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3 Limits 71 3.1 The Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Computing Limits: Graphically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3 Computing Limits: Algebraically . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4 Infinite Limits and Limits at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4.1 Vertical Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.2 Horizontal Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4.3 Slant Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4.4 End Behaviour and Comparative Growth Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.5 A Trigonometric Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4 Derivatives 107 4.1 The Rate of Change of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2 The Derivative Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2.1 Differentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2.2 Second and Other Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.3 Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Derivative Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.4 Derivative Rules for Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.6 Derivatives of Exponential & Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.7 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.8 Derivatives of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.8.1 Derivatives of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.9 Additional Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5 Applications of Derivatives 155 5.1 Related Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.2 Extrema of a Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2.1 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2.2 Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4 Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4.1 Intervals of Increase/Decrease, and the First Derivative Test . . . . . . . . . . . . 176 5.4.2 The Second Derivative Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4.3 Concavity and Inflection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Contents v 5.4.4 Asymptotes and Other Things to Look For . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.4.5 Summary of Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.5 Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6 Three Dimensions 197 6.1 The Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.2 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.3 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.4 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.5 Lines and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Selected Exercise Answers 223 [Show More]

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